テンセント混元は本日、Hy3モデルを基盤とする研究エージェントHyraが重要な構成を発見し、加法的組合せ論において半世紀以上にわたり未解決だったオープン問題に完全な解答を与えたと発表した。
現在、論文のプレプリント、明示的構成、形式化証明はいずれも公開されている：
論文： https://arxiv.org/abs/2607.27199
Lean形式化証明： https://github.com/linhaowei1/sum-diff-proof
問題は次のとおりである：
少なくとも2つの要素を含む有限整数集合を1つ取り、これをAとする。その任意の2要素を加え、異なる結果をすべて集めると「和集合」(A+A) が得られる。同様に、任意の2要素を引き、異なる結果をすべて集めると「差集合」(A-A) が得られる。
同じ結果は1回しか数えないため、自然な疑問は、加法と減法によってこの集合がそれぞれどの程度拡大するのか、ということである。
数学者は、この拡大を測るために2つの量を用いる：
前者は和集合の拡大倍率、後者は差集合の拡大倍率である。古典的な和差集合不等式は次のように示している：
この指数を測るため、次のように定義できる：
すると古典的不等式から 。本当の問題は、2は緩い上界にすぎないのか、それとも任意に近づけることのできる最適な指数なのか、という点である。
半世紀以上にわたり、数学者たちはC(A)をできるだけ大きくしようと新たな集合を構成し続けてきた。1969年の初期構成では約1.0290に達し、1973年には1.0598へ、2013年の構成ではさらに1.1259へと向上した。ここ1年近くの間に、複数のAI支援探索によってこの数値は1.1449まで押し上げられた。論文に記録されたある内部探索実験では、Codex（GPT-5.5）が人間の誘導と組み合わせることで、さらに1.2851まで高めた。
そしてHyraとHy3が決定的な一歩を踏み出した。それは、次の条件を満たす有限整数集合の明示的構成族を与えるものである：
これは、2にどれほど近い目標を与えられても、それを超える指数を持つ対応する集合を構成できることを意味する。したがって、2はこの問題の上限であることが実証された。
これまで、Georgiev、Gómez-Serrano、陶哲軒、Wagnerらの研究者は、AlphaEvolveを用いて探索アルゴリズムと候補集合を最適化していた。この種の手法は有限集合の明示的な列挙に依存するため、規模が大きくなるにつれて計算量とメモリコストが急速に増大し、証明可能な漸近的構成へ自然に移行することも難しい。
紹介によると、テンセント混元はまずHyraを有限探索に用い、最良の結果を約1.14から1.21へ引き上げた。その後、自然言語で数学的構成と論証を提案する方式へ移行し、LLM judgeを使って探索プロセスにフィードバックを与えた。
約24時間の稼働を経て、Hyraは論文の核心となるアイデアを提案した。十二進数の構造と巧妙な構成を利用して差集合を制御し、さらに巡回群上の対称加法基と中国剰余定理を組み合わせることで、和集合を平方に近い速度で拡大させるというものだ。公式側は独立に検証して完全な証明を整理し、Lean 4による形式化証明も提示した。