텐센트 혼위안은 오늘 Hy3 모델 기반 연구 에이전트 Hyra가 핵심 구성을 찾아 가법 조합론에서 반세기 넘게 미해결로 남아 있던 문제에 대한 완전한 해답을 제시했다고 발표했습니다.
현재 논문 프리프린트, 명시적 구성 및 형식화된 증명이 모두 공개되었습니다.
논문: https://arxiv.org/abs/2607.27199
Lean 형식화 증명: https://github.com/linhaowei1/sum-diff-proof
문제는 다음과 같습니다.
먼저 원소를 두 개 이상 포함하는 유한 정수 집합을 하나 취하고 이를 A라고 하겠습니다. 그 안의 임의의 두 원소를 더해 서로 다른 결과를 모두 모으면 ‘합집합’ (A+A)을 얻고, 임의의 두 원소를 빼서 서로 다른 결과를 모두 모으면 ‘차집합’ (A-A)을 얻습니다.
중복되는 결과는 한 번만 계산하므로, 자연스럽게 다음과 같은 의문이 생깁니다. 덧셈과 뺄셈을 거친 뒤 이 집합은 각각 얼마나 확장될까요?
수학자들은 두 가지 값으로 이러한 확장을 측정합니다.
전자는 합집합의 확장 배수이고, 후자는 차집합의 확장 배수입니다. 고전적인 합-차집합 부등식은 다음과 같이 말합니다.
이 지수를 측정하기 위해 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
따라서 고전적 부등식은 을 제공합니다. 진정한 문제는 다음과 같습니다. 2는 단지 느슨한 상한일까요, 아니면 임의로 가까이 다가갈 수 있는 최적의 지수일까요?
반세기 넘게 수학자들은 C (A)를 가능한 한 크게 만들기 위해 새로운 집합을 끊임없이 구성해 왔습니다. 1969년 초기 구성은 약 1.0290에 도달했고, 1973년에는 1.0598로 높아졌으며, 2013년 구성에서는 다시 1.1259에 이르렀습니다. 지난 1년 동안 여러 AI 보조 탐색을 통해 이 값은 1.1449까지 향상되었습니다. 논문에 기록된 한 내부 탐색 실험에서는 Codex（GPT-5.5）가 인간의 안내를 받아 이를 다시 1.2851까지 높였습니다.
그리고 Hyra와 Hy3가 결정적인 한 걸음을 내디뎠습니다. 이들은 다음 조건을 만족하는 유한 정수 집합의 명시적 구성족을 제시했습니다.
이는 2에 아무리 가까운 목표가 주어지더라도 지수가 그 목표를 초과하는 집합을 구성할 수 있다는 뜻입니다. 따라서 2는 이 문제의 상한임이 분명합니다.
앞서 Georgiev, Gómez-Serrano, 타오저쥔, Wagner 등의 연구자들은 AlphaEvolve를 활용해 탐색 알고리즘과 후보 집합을 최적화한 바 있습니다. 이러한 방법은 유한 집합을 명시적으로 열거하는 데 의존하기 때문에 규모가 커질수록 계산 및 메모리 비용이 빠르게 증가하며, 증명 가능한 점근적 구성으로 자연스럽게 이어지기도 어렵습니다.
소개에 따르면 텐센트 혼위안은 먼저 Hyra를 사용해 유한 탐색에서 최고 결과를 약 1.14에서 1.21로 높인 뒤, 자연어를 사용해 수학적 구성과 논증을 제시하는 방향으로 전환했습니다. 탐색 과정에는 LLM judge를 사용해 피드백을 제공했습니다.
약 24시간 동안 실행한 끝에 Hyra는 논문의 핵심 아이디어를 제시했습니다. 십이진 숫자 구조와 정교한 구성을 활용해 차집합을 제어하고, 순환군 위의 대칭적 덧셈 기저 및 중국인의 나머지 정리를 결합해 합집합이 제곱에 가까운 속도로 확장되도록 하는 방식입니다. 공식 측은 완전한 증명을 독립적으로 검토하고 정리했으며, Lean 4 형식화 증명도 함께 제시했습니다.