ٹینسینٹ ہُنیوان نے آج اعلان کیا کہ Hy3 ماڈل پر مبنی تحقیقی ایجنٹ Hyra نے ایک اہم ساخت دریافت کی ہے، جس نے اضافی امتزاجیات کے نصف صدی سے زائد عرصے سے زیرِ التوا کھلے مسئلے کا مکمل جواب فراہم کر دیا ہے۔
فی الحال، مقالے کا پری پرنٹ، صریح ساخت اور رسمی ثبوت سب عوامی طور پر دستیاب ہیں:
مقالہ: https://arxiv.org/abs/2607.27199
Lean رسمی ثبوت: https://github.com/linhaowei1/sum-diff-proof
مسئلہ یہ ہے:
پہلے ایک محدود صحیح عددی مجموعہ لیں جس میں کم از کم دو عناصر ہوں، اور اسے A کہیں۔ اس کے کسی بھی دو عناصر کو جمع کر کے تمام مختلف نتائج جمع کریں تو “جمع مجموعہ” (A+A) حاصل ہوتا ہے؛ کسی بھی دو عناصر کو منہا کر کے تمام مختلف نتائج جمع کریں تو “فرق مجموعہ” (A-A) حاصل ہوتا ہے۔
چونکہ یکساں نتائج صرف ایک مرتبہ شمار کیے جاتے ہیں، اس لیے ایک قدرتی سوال یہ ہے: جمع اور تفریق کے بعد یہ مجموعہ بالترتیب کتنا پھیلتا ہے؟
ریاضی دان اس پھیلاؤ کو ناپنے کے لیے دو مقداریں استعمال کرتے ہیں:
پہلی جمع مجموعے کے پھیلاؤ کا ضریب ہے، جبکہ دوسری فرق مجموعے کے پھیلاؤ کا ضریب ہے۔ کلاسیکی جمع و فرق مجموعہ عدم مساوات بتاتی ہے:
اس اشاریے کو ناپنے کے لیے یوں تعریف کی جا سکتی ہے
چنانچہ کلاسیکی عدم مساوات سے حاصل ہوتا ہے۔ اصل سوال یہ ہے: کیا 2 صرف ایک ڈھیلی بالائی حد ہے، یا یہ بہترین اشاریہ ہے جس کے قریب من مانی حد تک پہنچا جا سکتا ہے؟
نصف صدی سے زیادہ عرصے سے ریاضی دان نئے مجموعے تشکیل دیتے آ رہے ہیں تاکہ C (A) کو زیادہ سے زیادہ ممکن بنایا جا سکے۔ 1969 کی ابتدائی ساخت تقریباً 1.0290 تک پہنچی، 1973 میں یہ بڑھ کر 1.0598 ہوئی، جبکہ 2013 کی ساخت نے اسے مزید بڑھا کر 1.1259 کر دیا۔ گزشتہ تقریباً ایک سال کے دوران متعدد AI معاون تلاشوں نے اس قدر کو 1.1449 تک پہنچایا۔ مقالے میں درج ایک داخلی تحقیقی تجربے میں Codex (GPT-5.5) نے انسانی رہنمائی کے ساتھ اسے مزید بڑھا کر 1.2851 کر دیا۔
Hyra اور Hy3 نے فیصلہ کن قدم اٹھایا۔ انہوں نے صریح طور پر تشکیل دیے گئے محدود صحیح عددی مجموعوں کا ایک خاندان پیش کیا، جو
اس کا مطلب ہے کہ 2 سے کتنا ہی قریب ہدف کیوں نہ دیا جائے، ایسا مجموعہ تشکیل دیا جا سکتا ہے جس کا اشاریہ اس سے زیادہ ہو۔ لہٰذا 2 واقعی اس مسئلے کی بالائی حد ہے۔
اس سے قبل Georgiev، Gómez-Serrano، Tao اور Wagner سمیت دیگر محققین نے AlphaEvolve کی مدد سے تلاش کے الگورتھم اور امیدوار مجموعوں کو بہتر بنایا تھا۔ اس قسم کے طریقے محدود مجموعوں کی صریح فہرست سازی پر منحصر ہوتے ہیں۔ حجم بڑھنے کے ساتھ حسابی اور میموری کی لاگت تیزی سے بڑھتی ہے، اور قابلِ ثبوت مجانبی ساخت کی طرف قدرتی منتقلی بھی مشکل ہوتی ہے۔
تفصیلات کے مطابق، ٹینسینٹ ہُنیوان نے پہلے Hyra کے ذریعے محدود تلاش میں بہترین نتیجے کو تقریباً 1.14 سے بڑھا کر 1.21 کیا، پھر ریاضیاتی ساخت اور استدلال پیش کرنے کے لیے قدرتی زبان کا استعمال کیا۔ تلاش کے عمل کے لیے LLM judge سے رائے حاصل کی گئی۔
تقریباً 24 گھنٹے چلنے کے بعد Hyra نے مقالے کا بنیادی خیال پیش کیا: بارہ رقمی عددی ساخت اور ایک نفیس ساخت کا استعمال کرتے ہوئے فرق مجموعے کو قابو میں رکھنا، پھر دوری گروپ پر متقارن جمعی اساس اور چینی باقی ماندہ قضیے کو یکجا کرنا، تاکہ جمع مجموعہ تقریباً مربعی رفتار سے پھیلے۔ حکام نے آزادانہ طور پر مکمل ثبوت کی جانچ اور تدوین کی، اور Lean 4 کا رسمی ثبوت بھی فراہم کیا۔